Zadatak fun-001

a) Imenilac je jednak nuli za $x=2$, pa je $D=\mathbb{R}\setminus\{2\}$. Deljenjem: $f(x)=x+2+\dfrac{1}{x-2}$. Pošto $|f(x)|\to\infty$ kad $x\to 2$, prava $x=2$ je vertikalna asimptota; pošto $\dfrac{1}{x-2}\to 0$ kad $x\to\pm\infty$, kosa asimptota je $y=x+2$.

b) $f'(x)=1-\dfrac{1}{(x-2)^2}=\dfrac{(x-1)(x-3)}{(x-2)^2}$. Znak $f'$ se poklapa sa znakom $(x-1)(x-3)$: $f'>0$ na $(-\infty,1)$ i $(3,+\infty)$ — rastenje; $f'<0$ na $(1,2)$ i $(2,3)$ — opadanje. U $x=1$ je maksimum $f(1)=2$, u $x=3$ minimum $f(3)=6$.

c) Po razlaganju iz tačke a):

$\int_{3}^{4}\left(x+2+\frac{1}{x-2}\right)dx=\left[\frac{x^2}{2}+2x+\ln(x-2)\right]_{3}^{4}=(16+\ln 2)-\frac{21}{2}=\frac{11}{2}+\ln 2.$