← Analiza funkcije i integral

Zadatak fun-002

Data je funkcija f(x)=x2+2x+1f(x)=\dfrac{x^2+2}{x+1}.

a) Naći oblast definisanosti, vertikalnu i kosu asimptotu.

b) Napisati jednačine tangente i normale na grafik u tački sa apscisom x0=0x_0=0.

c) Izračunati lim⁡x→+∞f(x)x\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{x}.

Prikaži rešenje

a) D=R∖{−1}D=\mathbb{R}\setminus\{-1\}. Deljenjem f(x)=x2+2x+1=x−1+3x+1f(x)=\dfrac{x^2+2}{x+1}=x-1+\dfrac{3}{x+1}: vertikalna asimptota x=−1x=-1, kosa y=x−1y=x-1.

b) f′(x)=1−3(x+1)2f'(x)=1-\dfrac{3}{(x+1)^2}. U tački x0=0x_0=0: f(0)=2f(0)=2, f′(0)=−2f'(0)=-2. Tangenta: y=−2x+2y=-2x+2; koeficijent pravca normale −1f′(0)=12-\dfrac{1}{f'(0)}=\dfrac12, normala: y=12x+2y=\dfrac12 x+2.

c) f(x)x=x2+2x2+x→1\dfrac{f(x)}{x}=\dfrac{x^2+2}{x^2+x}\to 1 za x→+∞x\to+\infty (odnos vodećih koeficijenata).

Izvor: Do indeksa (autorski)