← Analiza funkcije i integral

Zadatak fun-003

Izračunati određene integrale:

a) ∫1exln⁡x dx\displaystyle\int_{1}^{e} x\ln x\,dx (parcijalna integracija);

b) ∫01x1+x2 dx\displaystyle\int_{0}^{1} x\sqrt{1+x^2}\,dx (smenom);

c) ∫1eln⁡xx dx\displaystyle\int_{1}^{e}\frac{\ln x}{x}\,dx (smenom) i ∫0π/2xsin⁡x dx\displaystyle\int_{0}^{\pi/2} x\sin x\,dx (parcijalna integracija).

Prikaži rešenje

a) Parcijalnom integracijom u=ln⁡xu=\ln x, dv=x dxdv=x\,dx:

∫1exln⁡x dx=x22ln⁡x∣1e−∫1ex2 dx=e22−(e24−14)=e2+14.\int_{1}^{e} x\ln x\,dx=\frac{x^2}{2}\ln x\Big|_{1}^{e}-\int_{1}^{e}\frac{x}{2}\,dx=\frac{e^2}{2}-\left(\frac{e^2}{4}-\frac14\right)=\frac{e^2+1}{4}.

b) Smena u=1+x2u=1+x^2, x dx=12 dux\,dx=\tfrac12\,du; granice 1→21\to 2:

∫01x1+x2 dx=12∫12u1/2 du=13u3/2∣12=22−13.\int_{0}^{1} x\sqrt{1+x^2}\,dx=\frac12\int_{1}^{2} u^{1/2}\,du=\frac13 u^{3/2}\Big|_{1}^{2}=\frac{2\sqrt{2}-1}{3}.

c) Smena t=ln⁡xt=\ln x: ∫1eln⁡xx dx=∫01t dt=12\displaystyle\int_{1}^{e}\frac{\ln x}{x}\,dx=\int_{0}^{1} t\,dt=\frac12. Parcijalnom integracijom u=xu=x, dv=sin⁡x dxdv=\sin x\,dx:

∫0π/2xsin⁡x dx=−xcos⁡x∣0π/2+sin⁡x∣0π/2=1.\int_{0}^{\pi/2} x\sin x\,dx=-x\cos x\Big|_{0}^{\pi/2}+\sin x\Big|_{0}^{\pi/2}=1.

Izvor: Do indeksa (autorski)