← Kombinatorika

Zadatak komb-003

a) Iz grupe u kojoj je 77 mladića i 55 devojaka bira se komisija od 44 osobe. Na koliko načina se to može učiniti tako da u komisiji bude bar jedna devojka?

b) Na koliko načina se broj 66 može napisati u obliku zbira 33 prirodna sabirka, ako se uzima u obzir redosled sabiraka (kompozicije)? A na koliko — ako se redosled ne uzima u obzir (razbijanja)?

v) Kod se sastoji od dva različita slova iz skupa {A,B,C,D,E,F}\{A,B,C,D,E,F\}, za kojima slede tri cifre, pri čemu prva cifra nije 00 (na ostale cifre nema ograničenja, cifre se mogu ponavljati). Koliko se različitih kodova može sastaviti?

Prikaži rešenje

a) Preko komplementa. Ukupno komisija od 44 osobe: (124)=495\dbinom{12}{4}=495. Komisija bez devojaka: (74)=35\dbinom{7}{4}=35. „Bar jedna devojka“: 495−35=460495-35=460.

b) Kompozicije (redosled je važan) broja 66 na 33 prirodna sabirka — broj pozitivnih rešenja x1+x2+x3=6x_1+x_2+x_3=6: (6−13−1)=(52)=10\dbinom{6-1}{3-1}=\dbinom{5}{2}=10. Razbijanja (redosled nije važan): 6=4+1+1=3+2+1=2+2+26=4+1+1=3+2+1=2+2+2, to jest 33.

v) Dva različita slova iz 66 uz uvažavanje redosleda: 6⋅5=306\cdot 5=30. Tri cifre, prva iz {1,…,9}\{1,\dots,9\}, ostale dve bilo koje: 9⋅10⋅10=9009\cdot 10\cdot 10=900. Ukupno 30⋅900=2700030\cdot 900=27000.

Izvor: Do indeksa (autorski)