← Kompleksni brojevi

Zadatak kb-001

Za svako realno tt dat je broj z=(t+2)+(t−4)iz=(t+2)+(t-4)i. Naći vrednost tt za koju je moduo ∣z∣|z| najmanji, i izračunati odgovarajuću vrednost ∣z∣|z| i sam broj zz.

Prikaži rešenje

Napišimo kvadrat modula:

∣z∣2=(t+2)2+(t−4)2=2t2−4t+20.|z|^2=(t+2)^2+(t-4)^2=2t^2-4t+20.

To je parabola sa pozitivnim vodećim koeficijentom, minimum u temenu t=−−42⋅2=1t=-\dfrac{-4}{2\cdot 2}=1. Tada je ∣z∣2=2−4+20=18|z|^2=2-4+20=18, pa je ∣z∣min⁡=18=32|z|_{\min}=\sqrt{18}=3\sqrt{2}. Za t=1t=1 dobijamo z=3−3iz=3-3i.

Izvor: Do indeksa (autorski)