← Kompleksni brojevi

Zadatak kb-003

Dat je kompleksan broj. Odrediti njegov moduo, glavni argument arg⁡z∈(−π,π]\arg z\in(-\pi,\pi] i napisati broj u trigonometrijskom obliku:

a) z=−3+33 iz=-3+3\sqrt{3}\,i;

b) z=1+i3−iz=\dfrac{1+i}{\sqrt{3}-i}.

Prikaži rešenje

a) ∣z∣=(−3)2+(33)2=9+27=6|z|=\sqrt{(-3)^2+(3\sqrt{3})^2}=\sqrt{9+27}=6. Broj se nalazi u drugom kvadrantu (Re⁡z<0\operatorname{Re}z<0, Im⁡z>0\operatorname{Im}z>0), tg⁡φ=33−3=−3\operatorname{tg}\varphi=\dfrac{3\sqrt{3}}{-3}=-\sqrt{3}, pa je arg⁡z=π−π3=2π3\arg z=\pi-\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{2\pi}{3}.

z=6(cos⁡2π3+isin⁡2π3).z=6\left(\cos\frac{2\pi}{3}+i\sin\frac{2\pi}{3}\right).

b) Za 1+i1+i: moduo 2\sqrt{2}, argument π4\dfrac{\pi}{4}. Za 3−i\sqrt{3}-i: moduo 22, argument −π6-\dfrac{\pi}{6}. Pri deljenju se moduli dele, a argumenti oduzimaju:

∣z∣=22,arg⁡z=π4−(−π6)=5π12∈(−π,π].|z|=\frac{\sqrt{2}}{2},\qquad \arg z=\frac{\pi}{4}-\left(-\frac{\pi}{6}\right)=\frac{5\pi}{12}\in(-\pi,\pi].

z=22(cos⁡5π12+isin⁡5π12).z=\frac{\sqrt{2}}{2}\left(\cos\frac{5\pi}{12}+i\sin\frac{5\pi}{12}\right).

Izvor: Do indeksa (autorski)