← Kvadratna jednačina i Vijetove formule

Zadatak kv-002

Data je jednačina x2−mx+3=0x^{2}-mx+3=0, m∈Rm\in\mathbb{R}, sa korenima x1,x2x_1,x_2. Po Vijetovim formulama x1+x2=mx_1+x_2=m, x1x2=3x_1x_2=3.

a) Naći sve mm za koje je 1x1+1x2=53\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}=\dfrac{5}{3}.

b) Naći sve mm za koje je x13+x23=28x_1^{3}+x_2^{3}=28.

c) Naći sve mm za koje je 1x13+1x23=6\dfrac{1}{x_1^{3}}+\dfrac{1}{x_2^{3}}=6.

U svim tačkama proveriti da su koreni realni.

Prikaži rešenje

Označimo S=x1+x2=mS=x_1+x_2=m, P=x1x2=3P=x_1x_2=3. Realnost korena: D=m2−12≥0D=m^{2}-12\ge 0, to jest ∣m∣≥23|m|\ge 2\sqrt{3}.

a) 1x1+1x2=x1+x2x1x2=m3=53⇒m=5\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}=\dfrac{x_1+x_2}{x_1x_2}=\dfrac{m}{3}=\dfrac{5}{3}\Rightarrow m=5. Provera: D=25−12=13>0D=25-12=13>0.

b) x13+x23=(x1+x2)3−3x1x2(x1+x2)=m3−9m=28x_1^{3}+x_2^{3}=(x_1+x_2)^{3}-3x_1x_2(x_1+x_2)=m^{3}-9m=28. Odatle m3−9m−28=(m−4)(m2+4m+7)=0m^{3}-9m-28=(m-4)(m^{2}+4m+7)=0; kvadratni činilac nema realne korene, znači m=4m=4. Provera: D=16−12=4>0D=16-12=4>0.

c) 1x13+1x23=x13+x23(x1x2)3=m3−9m27=6⇒m3−9m=162\dfrac{1}{x_1^{3}}+\dfrac{1}{x_2^{3}}=\dfrac{x_1^{3}+x_2^{3}}{(x_1x_2)^{3}}=\dfrac{m^{3}-9m}{27}=6\Rightarrow m^{3}-9m=162. Tada m3−9m−162=(m−6)(m2+6m+27)=0m^{3}-9m-162=(m-6)(m^{2}+6m+27)=0, drugi činilac je bez realnih korena, znači m=6m=6. Provera: D=36−12=24>0D=36-12=24>0.

Izvor: Do indeksa (autorski)