← Kvadratna jednačina i Vijetove formule

Zadatak kv-003

a) Data je jednačina x2−(m−2)x+(m−3)=0x^{2}-(m-2)x+(m-3)=0, m∈Rm\in\mathbb{R}. Za koje mm jednačina ima dvostruki (jednak) koren? Naći taj koren.

b) Za istu jednačinu naći sve mm za koje je jedan od korena jednak nuli, i navesti drugi koren.

c) Data je jednačina x2−2(m−2)x+(m2−4)=0x^{2}-2(m-2)x+(m^{2}-4)=0, m∈Rm\in\mathbb{R}. Odrediti sve mm za koje su koreni realni i: (i) imaju različite znake; (ii) oba su negativna.

Prikaži rešenje

a) D=(m−2)2−4(m−3)=m2−8m+16=(m−4)2D=(m-2)^{2}-4(m-3)=m^{2}-8m+16=(m-4)^{2}. Jednaki koreni za D=0D=0, to jest m=4m=4. Tada je dvostruki koren x=m−22=1x=\dfrac{m-2}{2}=1.

b) Koren 00 postoji kada je slobodan član jednak nuli: m−3=0⇒m=3m-3=0\Rightarrow m=3. Tada jednačina x2−x=0x^{2}-x=0 ima korene 00 i 11; drugi koren je 11. (Pošto je D=(m−4)2D=(m-4)^{2} potpun kvadrat, koreni su 11 i m−3m-3 za svako mm.)

c) Po Vijetovim formulama S=2(m−2)S=2(m-2), P=m2−4=(m−2)(m+2)P=m^{2}-4=(m-2)(m+2). Diskriminanta D=4(m−2)2−4(m2−4)=4(8−4m)=−16(m−2)D=4(m-2)^{2}-4(m^{2}-4)=4(8-4m)=-16(m-2), znači D≥0⇔m≤2D\ge 0\Leftrightarrow m\le 2.

(i) Različiti znaci ⇔P<0\Leftrightarrow P<0 (tada je D>0D>0 automatski): (m−2)(m+2)<0⇒−2<m<2(m-2)(m+2)<0\Rightarrow -2<m<2.

(ii) Oba negativna ⇔D≥0, P>0, S<0\Leftrightarrow D\ge 0,\ P>0,\ S<0: iz P>0P>0 sledi m<−2m<-2 ili m>2m>2; iz S<0S<0 sledi m<2m<2; zajedno sa m≤2m\le 2 dobijamo m<−2m<-2.

Izvor: Do indeksa (autorski)