Zadatak log-003

a) Oblast definisanosti: $x-1>0,\ x-1\ne 1$, to jest $x>1,\ x\ne 2$. Po definiciji logaritma $2x-2=(x-1)^{2}$. Pošto je $2x-2=2(x-1)$,

$(x-1)^{2}-2(x-1)=0\;\Rightarrow\;(x-1)(x-3)=0\;\Rightarrow\;x=1\ \text{ili}\ x=3.$

Koren $x=1$ ne pripada oblasti definisanosti; ostaje $x=3$ (provera: $\log_{2}4=2$).

b) Uslov aritmetičke progresije: $2\log_{3}\left(2^{x}-1\right)=\log_{3}2+\log_{3}\left(2^{x}+3\right)$, to jest $\left(2^{x}-1\right)^{2}=2\left(2^{x}+3\right)$. Smena $u=2^{x}>0$:

$u^{2}-2u+1=2u+6\;\Rightarrow\;u^{2}-4u-5=0\;\Rightarrow\;(u-5)(u+1)=0.$

Odgovara $u=5$ (koren $u=-1<0$ odbacujemo). Tada $2^{x}=5$, to jest $x=\log_{2}5$.