← Planimetrija

Zadatak plan-003

Stranice trougla čine aritmetičku progresiju, njegov obim je 3030, a jedan od uglova je 120∘120^\circ.

a) Naći stranice trougla i njegovu površinu.

b) Naći poluprečnike upisane i opisane kružnice.

Prikaži rešenje

a) Neka su stranice x−d, x, x+dx-d,\ x,\ x+d. Zbir 3x=303x=30, znači x=10x=10. Ugao 120∘120^\circ leži naspram najveće stranice x+dx+d. Po kosinusnoj teoremi sa cos⁡120∘=−12\cos 120^\circ=-\tfrac12:

(10+d)2=(10−d)2+102−2(10−d)⋅10⋅(−12),(10+d)^2=(10-d)^2+10^2-2(10-d)\cdot 10\cdot\left(-\tfrac12\right),

odakle 40d=200−10d40d=200-10d, d=4d=4. Stranice su 6, 10, 146,\ 10,\ 14 (provera: 142=62+102+6⋅10=19614^2=6^2+10^2+6\cdot 10=196). Površina

S=12⋅6⋅10⋅sin⁡120∘=30⋅32=153.S=\frac12\cdot 6\cdot 10\cdot\sin 120^\circ=30\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=15\sqrt{3}.

b) Poluobim s=15s=15. Tada r=Ss=15315=3r=\dfrac{S}{s}=\dfrac{15\sqrt{3}}{15}=\sqrt{3}, a po sinusnoj teoremi

R=142sin⁡120∘=143=1433.R=\frac{14}{2\sin 120^\circ}=\frac{14}{\sqrt{3}}=\frac{14\sqrt{3}}{3}.

Izvor: Do indeksa (autorski)