Zadatak ster-001

a) Iz $P=V$: $6a^2=a^3\Rightarrow a=6$.

b) Tetraedar kod posmatranog temena ima tri uzajamno normalne ivice dužine $a$, pa je $V_{\text{tet}}=\dfrac{1}{6}a^3$. Naspramna strana tetraedra je jednakostraničan trougao sa stranicom $a\sqrt{2}$, površine $S=\dfrac{\sqrt{3}}{4}(a\sqrt{2})^2=\dfrac{\sqrt{3}}{2}a^2$. Rastojanje od temena do te ravni:

$d=\frac{3V_{\text{tet}}}{S}=\frac{\frac12 a^3}{\frac{\sqrt{3}}{2}a^2}=\frac{a}{\sqrt{3}}=\frac{6}{\sqrt{3}}=2\sqrt{3}.$

v) Upisana lopta ima $r=\dfrac{a}{2}$, opisana $R=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$, pa je $\dfrac{r}{R}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}$ i

$\frac{V_{\text{up}}}{V_{\text{op}}}=\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^{3}=\frac{1}{3\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{9}.$