← Stereometrija

Zadatak ster-002

Data je prava kružna kupa, kod koje poluprečnik osnove rr, visina HH i izvodnica ss čine (upravo tim redom) aritmetičku progresiju, pri čemu je r=3r=3.

a) Naći HH i ss, a zatim zapreminu i površinu kupe.

b) U kupu je upisana lopta (dodiruje osnovu i omotač). Naći poluprečnik ρ\rho te lopte.

v) Izračunati odnos zapremine upisane lopte prema zapremini kupe.

Prikaži rešenje

a) Uslov progresije: 2H=r+s2H=r+s, a iz osnog preseka s2=r2+H2s^2=r^2+H^2. Za r=3r=3 imamo s=2H−3s=2H-3, pa je

(2H−3)2=9+H2⇒3H2−12H=0⇒H=4,s=5.(2H-3)^2=9+H^2\Rightarrow 3H^2-12H=0\Rightarrow H=4,\quad s=5.

Progresija je 3,4,53,4,5 sa razlikom 11. Tada V=13πr2H=13π⋅9⋅4=12πV=\dfrac{1}{3}\pi r^2 H=\dfrac{1}{3}\pi\cdot 9\cdot 4=12\pi i P=πr2+πrs=9π+15π=24πP=\pi r^2+\pi rs=9\pi+15\pi=24\pi.

b) Osni presek je jednakokraki trougao sa osnovicom 2r=62r=6 i kracima 55 (visina 44). Poluprečnik upisane kružnice ρ=Sp=128=32\rho=\dfrac{S}{p}=\dfrac{12}{8}=\dfrac{3}{2}.

v) Vlopta=43πρ3=43π⋅278=92πV_{\text{lopta}}=\dfrac{4}{3}\pi\rho^3=\dfrac{4}{3}\pi\cdot\dfrac{27}{8}=\dfrac{9}{2}\pi, odakle VloptaVkupa=9π/212π=38\dfrac{V_{\text{lopta}}}{V_{\text{kupa}}}=\dfrac{9\pi/2}{12\pi}=\dfrac{3}{8}.

Izvor: Do indeksa (autorski)