Zadatak trig-003

Koristeći $\cos 2x=2\cos^2 x-1$, rastavimo funkciju na činioce:

$f(x)=2\cos x-(2\cos^2 x-1)-1=2\cos x\,(1-\cos x).$

a) $f(x)=0\iff\cos x=0$ ili $\cos x=1$. Na $(-\pi,\pi]$ iz $\cos x=0$ dobijamo $x=\pm\dfrac{\pi}{2}$, iz $\cos x=1$ dobijamo $x=0$. Nule: $-\dfrac{\pi}{2},\ 0,\ \dfrac{\pi}{2}$.

Činilac $1-\cos x\ge 0$ svuda i jednak je nuli samo za $x=0$, pa se za $x\ne 0$ znak $f$ poklapa sa znakom $\cos x$.

b) $f(x)>0\iff\cos x>0$ i $x\ne 0$. Na $(-\pi,\pi]$ to je $x\in\left(-\dfrac{\pi}{2},0\right)\cup\left(0,\dfrac{\pi}{2}\right)$.

c) $f(x)<0\iff\cos x<0$, to jest $x\in\left(-\pi,-\dfrac{\pi}{2}\right)\cup\left(\dfrac{\pi}{2},\pi\right]$ (u tački $x=\pi$ imamo $f(\pi)=-4<0$).